Тема № 9

Моделирование с использованием теории катастроф

 

Введение

В этой теме мы рассмотрим катастрофы, примеры катастроф типа "сборки".

План:

1.  Понятие о катастрофах. Классификационная теорема Тома.

2.  Примеры катастроф типа "сборки".

 

1. Понятие о катастрофах. Классификационная теорема Тома.

Главное в процессе развития — то, что определяет этот процесс и может быть положено в основу его математической формализации. Этой основой является возникновение (при изменении параметров) неустойчивости как фактора дальнейшего развития, а точнее говоря, наличие сложной связи между явлениями устойчивости и неустойчивости, одинаково необходимыми для процесса развития сложных систем.

Будем рассматривать развивающуюся систему как динамическую систему и описывать ее функционирование соответствующей системой дифференциальных уравнений, представляющих изменение состояния системы (первую производную) как функцию от состояния системы и ее параметров (система автономная, т. с. время не входит в правую часть как независимая переменная):

dx/dt = fi (x1, …, xn; l 1, …, l m) i = 1, …, n  (1)

В этой системе xi означает переменную состояния системы (фазовая переменная), поведенческой переменной, внутренней переменной и т. д. Набор из п переменных {xi}, i = 1, …, n определяет состояние системы. Набор из {l i}, j = 1, …, m определяет параметры системы, известные под именем управляющих параметров, внешних параметров и др. Они отражают влияние определенных фиксированных факторов, например факторов среды, на функционирование системы. Важным для динамической системы (1) является понятие стационарного состояния, т. е. состояния покоя, при котором фазовые переменные {xi}, i = 1, …, n не зависят от времени, т. е. достаточное время не меняются (постоянны).

Процесс развития:

Рис. 1.

При переходе через критические режимы (если параметры системы, достигнув критических значений, продолжают изменяться) меняется фазовая картина системы, число особых точек, что и приводит к скачкообразному переходу системы в новое, вообще говоря, качественно иное стационарное состояние.

Потеря системой устойчивости называется катастрофой.

Катастрофа — это скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий.

 

Математическая теория, анализирующая поведение нелинейных динамических систем при изменении их параметров, называется теорией катастроф.

Основой теории катастроф является новая область математики — теория особенностей гладких отображений, являющаяся далеким обобщением задач на экстремум в математическом анализе. Начало было положено в 1955 г. американским математиком Г.Уитни. После работ Р.Тома (давшего теории название) началось интенсивное развитие, как самой теории катастроф, так и ее многочисленных приложений. Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда.

 

2. Примеры катастроф типа "сборки".

Широкое приложение методов теории катастроф началось после выхода в свет книги одного из создателей этой теории — Рене Тома, где теория катастроф была применена для изучения морфогенеза (формообразования) в биологии.

Теория катастроф и представляет собой теорию структурной устойчивости специального класса дифференциальных уравнений с любым числом фазовых переменных, когда правая часть этих уравнений может быть представлена в виде градиентной системы, т. е. как движение в поле потенциальных сил с потенциалом F:

Когда число параметров не превышает четырех, оказалось возможным дать общую классификацию всех типов структурных не устойчивостей, получивших название элементарных катастроф. При помощи классификационной теоремы Тома доказано, что в этом случае существует лишь семь элементарных катастроф, независимо от числа фазовых переменных.

Простейшая элементарная катастрофа с одним параметром получила название “складка”; для нее потенциал F в дифференциальном уравнении (3) имеет вид:

F (х, с) = x3/3 – cx,

где х – переменное состояние динамической системы; с – управляющий параметр системы.

Она имеет вид складки на ткани и называется катастрофой складки (1 параметр).

Рис. 2.

При с>0 все кривые качественно подобны — они не имеют критических точек. Все кривые с с<0 также подобны и имеют две критические точки (рис. 6, б). Точка с=0 в пространстве управляющих параметров является сепратриссой (рис. 6, в). Катастрофы складки появляются в моделях, описывающих, триггерные схемы релаксационные колебания, нагруженные арки, различные диссипативные структуры.

Катастрофа с двумя параметрами а и b имеет функцию

F(x, а, b) = x4/4 - bx2/2— ах,

где х – переменное состояние системы; a,  b  управляющие параметры,

и называется “сборка”. Именно она получила наиболее широкое распространение в приложениях.

Согласно классификационной теореме любая гладкая функция имеет особенности только типа “складки” и “сборки”. Параметр а получил название нормального фактора, параметр b — расщепляющего фактора. Последний называется так потому, что при b>0 поверхность поведения расщепляется на два листа.

Рис. 3.

Катастрофа “сборка” имеет пять качественных особенностей, которые широко используются при моделировании различных явлений:

1. Бимодальность. В области, лежащей внутри бифуркационной кривой, система при одних и тех же значениях параметров может находиться в двух разных состояниях (либо в одном, либо в другом).

2. Область недоступности. На оси состояний х существует область, внутри которой система не может находиться ни при каких значениях параметров внутри бифуркационной области.

3. Катастрофа (резкий скачок). При непрерывном изменении параметров возможен резкий переход из одного состояния в другое.

4. Гистерезис. Резкое изменение в поведении зависит от предыстории процесса. Например, если состояние системы непрерывно изменяется вдоль кривой PQ, то скачок с нижнего листа на верхний произойдет из точки Q в точку Р. Если же состояние изменяется по кривой RT, то скачок на нижний лист произойдет не в Точке R, а в точке Т.

5. Дивергенция. Две системы, мало отличающиеся по поведению вначале, при одинаковом характере изменения параметров могут оказаться в результате неустойчивости системы в состояниях, очень сильно отличающихся по поведению.

Катастрофа “сборка” наиболее широко распространена при построении конкретных моделей теории катастроф, описывая самые разнообразные процессы вплоть до моделирования процесса смены общественных формаций.

Примером использования теории катастроф в области глобального моделирования являются такие свойства экономического развития, как увеличение разрыва в жизненном уровне между экономически развитыми и развивающимися странами (дивергенция), возможность резкого изменения (скачка) в уровне развития отдельной страны и др. Эти свойства дали основание в работе  использовать катастрофу “сборка” для качественного анализа глобальной модели, причем в качестве нормального фактора берутся вложения в создание новой технологии, а в качестве расщепляющего — используемые природные ресурсы, т. е. основные техноэкономические факторы, определяющие скачок.

В качестве “верхнего” листа “сборки” рассматриваются развитые страны, а в качестве “нижнего” - развивающиеся: изменение вышеуказанных факторов обусловливает скачкообразный переход страны из одного состояния в другое. Катастрофа “сборка” используется также для сравнения двух глобальных моделей будущего — “оптимистической” модели Г. Кана “Следующие двести лет” и “пессимистической” модели Д. Медоуза “Пределы роста”, которым отвечают соответственно “верхний” и “нижний” листы сборки. В зависимости от влияния соответствующих факторов человечество может скачкообразно оказаться либо в одном, либо в другом состоянии. В качестве таких факторов, носящих конфликтный характер, выступают рост системы и пределы роста.

 

Заключение

В этой теме мы рассмотрели: катастрофы, примеры катастроф типа "сборки".
 

Литература:

1.      Евин И.А., Яблонский А.И. Модели развития и теория катастроф // Системные исследования: Методол. пробл. 1982. - М., 1982. - С. 126.

2.      Чертыковцев В.К. Бифуркации // www.ssea.ru/logist/chrt1/1.3.htm.