Тема № 6
Интерполяция (4 часа)
Введение
В этой теме мы рассмотрим интерполяцию функций и ее виды, приближение функций интерполяционными многочленами, кубическими сплайнами и метод наименьших квадратов.
План:
1. Приближений функций интерполяционными многочленами. Конечные и разделенные разности. Определение степени интерполяционного многочлена. Сходимость интерполяционного процесса.
2. Интерполяционные многочлены в форме Ньютона и Лагранжа.
3. Приближение функций кубическими сплайнами. Метод наименьших квадратов.
1. Приближений функций интерполяционными многочленами. Конечные и разделенные разности. Определение степени интерполяционного многочлена. Сходимость интерполяционного процесса.
Приближений функций интерполяционными многочленами
Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией j (x) так, чтобы отклонение функции j (x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция j (х) при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:
1. Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).
2. Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.)
В связи с интерполяцией возникают 3 проблемы:
1) выбор интерполяционной функции F(Х);
2) оценка погрешности интерполяции R(X)=|F(X)-L(X)|;
3) размещение узлов интерполяции для обеспечения наивысшей возможности точности восстановления функции.
Постановка задачи интерполяции
Основная задача интерполяции – нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана.
Экстраполяция более широкое понятие, сводится к восстановлению функции внутри данного интервала.
Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы n + 1, точки xi = х0, х1, . . ., хn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках
f(x0) = y0, f(x1) = y1,
. . ., f(xn) = yn. |
(1) |
Требуется построить функцию F (х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что
F(x0) = y0, F(x1) = y1, . . ., F(xn) = yn. |
(2) |
Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(xi, yi) (i = 0, 1, ..., n) (Рис. 1).
Рис. 1.
В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.
Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(х) искать полином j (х) (интерполяционный полином) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (2), т. е. такой, что
j (x0) = y0, j (x1) = y1, . . ., j (xn) = yn. |
(3) |
Полученную интерполяционную формулу
|
(4) |
обычно используют для
приближенного вычисления значений данной функции ¦(х)
для значений аргумента х, отличных от узлов интерполяции. Такая операция
называется интерполяцией функций.
Различают два вида интерполяции:
1. Глобальная - соединение всех точек ¦(х) единым интерполяционным полиномом (параболическая интерполяция, интерполяционная формула Лагранжа, интерполяционные формулы Ньютона).
2. Локальная - соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам) (линейная интерполяция, квадратичная, кубическая сплайн интерполяция).
Конечные и разделенные разности
Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называют конечными разностями первого порядка:
D yi = yi+1 - yi (i = 0, 1, 2, ...).
Из
конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:
D 2yi = D yi+1 - D yi (i = 0, 1, 2, ...)
Продолжая этот процесс, можно по заданной таблично функции составить таблицу конечных разностей (Таблица 1).
Таблица 1
x |
y |
D y |
D 2y |
D 3y |
... |
x0 |
y0 |
D y0 |
D 2y0 |
D 3y0 |
… |
x1 |
y1 |
D y1 |
D 2y1 |
D 3y1 |
… |
x2 |
y2 |
D y2 |
D 2y2 |
... |
… |
x3 |
y3 |
D y3 |
... |
… |
… |
x4 |
y4 |
... |
… |
… |
… |
... |
... |
|
|
|
|
Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Действительно, для разностей первого порядка это следует из определения. Для разностей второго порядка имеем:
D 2yi = D yi + 1 - D yi = (yi+2 - yi+1) - ( yi+1 - yi) = yi+2 - 2yi+1 + yi.
Для разностей 3-го порядка
D 3yi = D 2yi + 1 - D 2yi = (D yi + 2 - D yi + 1) - (D yi + 1 - D yi) = ( yi + 3 - 2yi + 2 + yi + 1) -
- (yi + 2 - 2yi + 1 + yi ) =yi + 3 - 3yi + 2+ 3yi + 1 - yi.
Для разностей n–го порядка:
D kyi = yi + k - k yi +k - 1 +
|
(5) |
Пример 1.
Построить конечные разности для функции P (x) = х3, считая шаг D х = 1.
D P (x) = (х + 1)3 - х3 = 3 х2 + 3 х + 1,
D 2P (x) = [3 (х + 1)2 + 3 (х + 1) + 1] -(3 х2 + 3 х + 1) = 6 х + 6,
D 3P (x) = [6 (х + 1) + 6] - (6 х + 6) = 6,
D nP (x) = 0 при n > 3.
Обратите внимание, что конечная разность третьего порядка функции P (x) постоянна.
Вообще,
справедливо утверждение:
если Pn
(x) = - полином n-ой
степени, то D nPn (x) = n! an
hn = const, где D x = h.
Пример 2.
Составить таблицу конечных разностей функции у = 2 х3 - 2 х2 + 3 х – 1 от начального значения x0 = 0, приняв шаг h = 1.
Полагая x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, находим соответствующие значения y0 = -1, y1 = 2, y2 = 13. Отсюда имеем:
D y0 = y1 - y0 = 3,
D y1 = y2 - y1 = 11,
D 2y0 = D y1 - D y0 = 8.
Эти значения заносим в таблицу (Таблица 2).
Таблица 2
x |
y |
D y |
D 2y |
D 3y |
0 |
-1 |
3 |
8 |
12 |
1 |
2 |
11 |
20 |
12 |
2 |
13 |
31 |
32 |
12 |
3 |
44 |
63 |
44 |
12 |
4 |
107 |
107 |
56 |
12 |
5 |
214 |
163 |
68 |
12 |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
Так как наша функция есть полином третьей степени, то третья разность ее постоянна и равна D 3yi = 2 ? 3! = 12.
Поэтому дальнейшее заполнение Таблицы 2 можно производить при помощи суммирования, используя формулы
D 2yi +1 = D 2yi + 12 (i =0, 1, 2, …),
D yi +1 = D yi + D 2yi (i = 1, 2, …),
yi +1 = yi + D yi (i = 2, 3, …).
2. Интерполяционные многочлены в форме Ньютона и Лагранжа.
Интерполяционные формулы Ньютона
До сих пор не делалось никаких предположений о заданных значениях аргумента, которые могли быть совершенно произвольными. Предположим дополнительно, что рассматриваемые значения аргумента являются равноотстоящими, т. е. образуют арифметическую прогрессию.
В этом случае шаг таблицы h = хi+1 - xi (i = 0, 1, 2, ..., n) = const является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается.
Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции, заданной таблично с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей. Будем искать интерполяционный полином в виде:
Pn(x) = a0 + a1 (x - x0) + a2 (x - x0) (x - x1) + + a3 (x - x0) (x - x1) (x - x2) + ... + an (x - x0) (x - x1) ? ...? (x - xn-1). |
(13) |
Это полином степени n. Значение коэффициентов a0, a1, ..., an Найдем из условия совпадения значений исходной функции и полинома Pn(x) a узлах интерполяции. Полагая х = х0, из (13) находим:
y0 = Pn (x0) = a0 Þ a0= y0.
Далее, придавая х значение х1 и х2 последовательно, получаем:
y1 = Pn(x1) = a0 + a1 (x1 - x0) = a0 + a1 h
y2 = Pn (x2) = a0 + a1 (x2 - x0) + a2 (x2 - x0) (x2 - x1) =
= a0+ 2 a1h + 2 a2h2.
Найдем коэффициенты а0, а1, а2:
a0 = y0,
а1 =! =! =!,
a2 = = ! =!.
Aналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:
ак =!, k = 0, 1, 2,... n |
|
Подставляя эти выражения в формулу (13), получим следующий вид интерполяционного полинома:
Pn (x) = у0 + !(x - x0) + ! (x - x0) (x - x1) + ... … + !(x - x0) (x - x1)...(x - xn-1). |
(14) |
Практически формула (14) применяется в несколько ином виде. Положим
t = ,
т. е. х = х0 + ht. Тогда
!=! =! t - 1, =! = t - 2 и т. д.
Окончательно имеем:
|
(15) |
Полученное выражение называется первой интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед.
Интерполяционную формулу (15) обычно используют для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим. Разности D kуi вычисляются через значение функции уi, уi + 1, ..., уi + k, причем i + k ? n, поэтому при больших значениях i мы не можем вычислить разности высших порядков (k ? n - i). Например, при i = n - 3 в (15) можно учесть только D у, D 2у, D 3у.
Если в формуле (15) положить n = 1 , то получим формулу линейной интерполяции:
P1 (x) = у0 + t D у0.
При n = 2 будем иметь формулу квадратичной интерполяции:
P2 (x)
= у0 + t D у0 + .
Если дана неограниченная таблица значений у, то число n в интерполяционной формуле (15) может быть любым. Практически в этом случае число n выбирают так, чтобы разность D nуi была постоянной с заданной степенью точности. За начальное значение x0 можно принять любое табличное значение аргумента х.
Если таблица значений функции конечна, то число n ограничено, а именно: n не может быть больше числа значений функции у, уменьшенного на единицу.
Пример 6. Приняв шаг h = 0,05, построить на отрезке [3,5; 3,6] интерполяционный полином Ньютона для функции у = ех, заданной таблицей
х |
3,50 |
3,55 |
3,60 |
3,65 |
3,70 |
у |
33,115 |
34,813 |
36,598 |
38,475 |
40,447 |
Составляем таблицу разностей (Таблица 3).
x |
y |
D y |
D 2y |
D 3y |
3,50 |
33,115 |
1698 |
87 |
5 |
3,55 |
34,813 |
1785 |
92 |
3 |
3,60 |
36,598 |
1877 |
95 |
|
3,65 |
38,475 |
1972 |
|
|
3,70 |
40,447 |
|
|
|
Заметим, что в столбцах разностей, следуя обычной практике, мы не указываем десятичные разряды (которые ясны из столбца значений функции). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (15) полагаем n = 3. Приняв x0 = 3,50, y0 = 33,115, будем иметь:
P3 (x) =
33,115 + 1,698 t + 0,087+ 0,005
или
P3 (x) =
33,115 + 1,698 t + 0,0435+ 0,00083
,
где
.
На практике часто необходимо для функции, заданной таблично, подобрать аналитическую формулу, представляющую с некоторой точностью данные табличные значения функции. Такая формула называется эмпирической, причем задача построения ее неоднозначна.
При построении эмпирической формулы следует учитывать общие свойства функции. Если из таблицы разностей будет обнаружено, что n-е разности функции для равностоящих значений аргумента постоянны, то в качестве эмпирической формулы можно взять соответствующую первую интерполяционную формулу.
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае:
,
т. е. t < 0 и интерполяционную формулу Ньютона можно получить в виде:
|
(16) |
Формулу (16) называют второй интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад.
Пример 8. Дана таблица значений y = lg x семизначных логарифмов
х |
у |
1000 |
3,0000000 |
1010 |
3,0043214 |
1020 |
3,0086002 |
1030 |
3,0128372 |
1040 |
3,0170333 |
1050 |
3,0211893 |
Найти lg 1044.
Составляем таблицу разностей (Таблица 5).
Таблица 5.
Таблица разностей функции у = lg x
х |
у |
D y |
D 2y |
D 3y |
1000 |
3,0000000 |
43214 |
- 426 |
8 |
1010 |
3,0043214 |
42788 |
- 418 |
9 |
1020 |
3,0086002 |
42370 |
- 409 |
8 |
1030 |
3,0128372 |
41961 |
- 401 |
|
1040 |
3,0170333 |
41560 |
|
|
1050 |
3,0211893 |
|
|
|
Примем xn = 1050,
тогда
Используя подчеркнутые разности, в силу формулы (16) будем иметь:
Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции y для значений аргументов х, лежащих вне пределов таблицы. Если х < х0 и х близко к х0, то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда
Если х < хn и х близко к хn, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот - для интерполирования назад и экстраполирования вперед.
Операция экстраполирования менее точна, чем операция интерполяции в узком смысле слова.
Точность интерполяции
График интерполяционного полинома у = j (х) проходит через заданные точки, т.е. значения полинома j (х) и данной функции у = ¦ (х) совпадают в узлах х = хi (i = 0, 1, .., . n). Если функция ¦ (х) сама является полиномом степени n, то имеет место тождественное равенство ¦ (х) = j (х). В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции
R(x) = ¦ (х) - j (х).
Эта разность и есть погрешность интерполяции, и называется остаточным членом интерполяционной формулы. Оценим его значение.
Предположим, что заданные числа yi являются значениями некоторой функции y = ¦(х) в точках х = хi . Пусть эта функция непрерывна и имеет непрерывные производные до n + 1 порядка включительно. Можно показать, что в этом случае остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа имеет вид:
RL (x)
= ¦ (n+1)(x )
где ¦ (n+1) (x ) - производная (n+1)-го порядка функции ¦ (х) в некоторой точке х = x , x I [x0, xn]. Если максимальное значение этой производной равно:
Mn + 1 =| ¦ (n+1) (x)| ,
то можно записать формулу для оценки остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа
|
RL (x)| |
(17) |
Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона можно записать в виде:
RP (x)
= ¦ (n+1) (x ) h n + 1,
. (18)
Остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона:
RP (x)
= ¦ (n+1) (x ) h n + 1,
. (19)
Если предположить, что разности D n + 1уn почти постоянны для функции y = f(x) и h достаточно мало, и учитывая, что
¦ (n+1) (х) = ,
приближенно можно положить:
¦ (n+1) (x
) » .
В этом случае можно записать следующую формулу остаточного члена первой интерполяционной формулы Ньютона:
RP (x)
» D n+1у0.
Формула остаточного члена второй интерполяционной формулы Ньютона имеет вид:
RP (x)
» D n+1уn
.
Пример 9. Оценим ошибку интерполяции при отыскании lg 1044 в примере 8.
Составленная таблица разностей (Таблица 5) показывает, что третьи разности функции можно считать практически постоянными, следовательно, n = 3. По формуле (19) имеем:
R3(x)
= ¦ IV (x ) h 4,
Так как f(x) = lg10
х, то ¦ IV (х)
= - , поэтому
|¦ IV (x ) | < .
Далее h = 10 и t = - 0,6, так что окончательно
R3(x)
» 10-10.
Таким образом, интерполирование с учетом третьих разностей, т. е. с применением интерполяционного полинома третьей степени, не вносит погрешностей до десятого знака.
Следует подчеркнуть, что существует один и только один интерполяционный полином при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и др. порождают один и тот же полином (при условии, что вычисления проводятся точно).
Повышение точности интерполяции целесообразно проводить за счет уменьшения шага и специального расположения точек хi. Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычисления, погрешностями округления и др.
3. Приближение функций кубическими сплайнами. Метод наименьших квадратов.
Кубическая сплайн-интерполяция
В последние годы интенсивно развивается новый раздел современной вычислительной математики - теория сплайнов. Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющих достаточно сложную структуру.
Рассмотренные выше методы локальной интерполяции, по существу, является простейшим сплайном первой степени (для линейной интерполяции) и второй степени (для квадратичной интерполяции).
Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной (Рис. 4). Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.
Рис. 4. Сплайн
В общем случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = j (x) таким образом, чтобы f (xi) = j (xi) в точках x = xi, a в остальных точках отрезка [a, b] значения функций f(x) и j (x) были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек (например, 6-8) для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций.
Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т. е. график функции будет содержать точки “излома”.
Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования теории балок показали, что гибкая тонкая балка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть по меньшей мере непрерывно дифференцируемой. Это означает, что функции j (x), j'(x), j''(x) должны быть непрерывными на отрезке [a, b].
Кубическим интерполяционным сплайном, соответствующим данной функции f(x) и данным узлам xi, называется функция S(x), удовлетворяющая следующим условиям:
· на каждом сегменте [xi - 1, xi], i = 1, 2, ..., N функция S(x) является полиномом третьей степени;
· функция S(x), а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b];
· S(xi) = f(xi), i = 0, 1, ..., N.
На каждом из отрезков [xi - 1, xi], i = 1, 2, ..., N будем искать функцию S(x) = Si(x) в виде полинома третьей степени:
Si(x) = ai + bi(x
- xi - 1) + ci(x - xi - 1)2
+ di(x - xi - 1)3, xi - 1
|
(23) |
где ai, bi, ci, di - коэффициенты, подлежащие определению на всех n элементарных отрезках. Чтобы система алгебраических уравнений имела решение, нужно, чтобы число уравнений точно равнялось числу неизвестных. Поэтому мы должны получить 4n уравнения.
Первые 2n уравнения мы получим из условия, что график функции S(x) должен проходить через заданные точки, т. е. Si(xi - 1) = yi - 1, Si(xi) = yi. Эти условия можно записать в виде:
Si(xi - 1) = ai
= yi - 1, Si(xi) = ai + bihi
+ cih |
(24)
(25) |
где
hi = xi - xi - 1, i = 1, 2, ..., n. |
|
Следующие 2n - 2 уравнения вытекают из условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции, т. е. условия гладкости кривой во всех точках.
S' i + 1(xi) = S' i(xi),
i = 1, ..., n - 1, S' ' i + 1(xi) = S' ' i(xi),
i = 1, ..., n - 1, S' i (x) = bi + 2 ci
(x - xi - 1) + 3 di (x
- xi - 1) S' i + 1 (x) = bi + 1 + 2 ci + 1
(x - xi) + 3 di + 1 (x
- xi) |
|
Приравнивая в каждом внутреннем узле x = xi значения этих производных, вычисленные в левом и правом от узла интервалах, получаем (с учетом hi = xi - xi - 1):
bi + 1 = bi + 2 hi ci + 3h S' ' i(x) = 2 ci + 6 di (x - xi - 1), S' ' i + 1(x) = 2 ci + 1 + 6 di + 1 (x - xi), |
(26) |
если x = xi
ci + 1 = ci + 3 hi di, i = 1,2, ..., n - 1. |
(27) |
На данном этапе мы имеем 4n неизвестных и 4n - 2 уравнений. Следовательно, необходимо найти еще два уравнения.
При свободном закреплении концов можно приравнять к нулю кривизну линии в этих точках. Из условий нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых производных в этих точках:
S1' ' (x0) = 0 и Sn' ' (xn) = 0, ci = 0 и 2 cn + 6 dn hn = 0. |
(28) |
Уравнения (24) - (28) составляют систему линейных алгебраических уравнений для определения 4n коэффициентов: ai , bi , ci, di (i = 1, 2, . . ., n).
Эту систему можно привести к более удобному виду. Из условия (24) сразу можно найти все коэффициенты ai.
Далее из (27) и (28) получим:
di = ,i = 1, 2, ..., n - 1,
dn = - cn/(3hn) |
(29) |
Подставляя (24) и (28) в (25), получим:
bi = - (ci + 1 + 2ci)
, i = 1,2, ..., n - 1, bn = - (hn cn) |
(30) |
Рис. 5. Линейная интерполяция
Учитывая выражения (29) и (30), исключаем из уравнения (27) коэффициенты bi и di. Окончательно получим следующую систему уравнений только для коэффициентов сi:
c1 = 0 и cn + 1 = 0:
hi - 1 ci - 1 + 2 (hi - 1
+ hi) ci + hi ci
+ 1 = 3 ( - ), i = 2, 3, ..., n. |
(31) |
По найденным коэффициентам сi легко вычислить di , bi.
Матрица этой системы трехдиагональная, т. е. ненулевые элементы находятся лишь на главной и двух соседних с ней диагоналях, расположенных сверху и снизу.
Метод наименьших квадратов
Суть данного метода заключается в том, что квадрат суммы разностей между фактическим значением результативного признака и его теоретическим значением сводится к минимуму.
F = å (уфакт – утеор )2 Þ min
Рис. 6.
* - уфакт (эмпирическое)
Чтобы найти параметры a0 , a1, a2 , необходимо в формулу (1) подставить утеор, то есть ту аналитическую зависимость, которой будем сглаживать (аппроксимировать) статистический материал. Как известно из математики для нахождения минимума функции нужно взять частные производные по анализируемым параметрам, то есть ... и приравнять данное выражение к нулю. Получим систему нормальных уравнений, из которых найдем заданные коэффициенты.
F = å (уфакт – a0 – a1xфакт )2 Þ min
урасч = a0 + a1xфакт
преобразовав уравнение (*), получим систему нормальных уравнений:
Решением системы (**) будут:
Рассчитав коэффициенты a0 , a1, можно синтезировать модель:
(оценки
коэффициентов a0 , a1).
Аналогичным образом, используя МНК, можно получить коэффициенты для остальных функций, используемых при аппроксимации.
Если в качестве факторного признака х используется время t, то такой ряд называется динамическим (временным) рядом. При применении специального подхода при обозначении факторного признака t, когда сумма времени t будет равна 0, выражения для коэффициентов a0 , a1 , a2 – будут проще.
ti, å t = 0
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
При таком подходе формулы коэффициентов a0 , a1 значительно упрощаются:
,
(для
линейной функции)
Аналогично определяем коэффициенты для других функций:
yt =a0 +a1t +a2t2
(парабола)
y =a0 a1t (показательная функция)
Для того чтобы убедится, что полученные коэффициенты являются типичными, используют метод оценки с помощью распределения Стьюдента (критерий Стьюдента). Находят:
s - среднее квадратичное отклонение;
s 2 – дисперсия
- остаточная
дисперсия
Отделив ta0, ta1 и сравнив с tтабличное, можно сделать вывод, что если ta0 > tтабличное и
ta1 > tтабличное (ta0 > tтабличное< ta1), то параметры а0 и а1 – стандартно типичны (обладают оценкой несмещенной, эффективной).
Получив синтезированные модели по функциям 1-5, сравнивают остаточную дисперсию и по минимальности остаточной дисперсии выбирают функцию для аппроксимации (сглаживания).
Для оценки прогноза используют обычно не дискретные (точечные) значения результативного признака, а рассчитанный интервал.
Yпрогнозное = yтеор ± ta s x *
a - коэффициент доверия, обычно выбирается 0,05 и вероятность Р=0,95.
ta - находится по таблице Стьюдента (ta = 4,3).
s x * - скорректированное среднее квадратичное отклонение с учетом степеней свободы n - m, где
m - число параметров нашей синтезируемой модели;
n - объем выборки.
Для y =a0 +a1x, m = 2
Рис. 7.
Заключение
В этой теме мы рассмотрели: приближение функций интерполяционными многочленами, кубическими сплайнами и метод наименьших квадратов.
В следующей теме мы узнаем, что такое стохастическое моделирование и рассмотрим метод Монте-Карло.
Литература:
1. Интерполяция функций. Введение, постановка задачи // www.exponenta.ru/educat/systemat/hanova/interp/order.asp.