Тема № 7
Статистическое моделирование
Введение
В этой теме мы рассмотрим стохастическое моделирование и метод Монте-Карло.
План:
1. Стохастическое моделирование. Метод Монте - Карло.
1. Стохастическое моделирование. Метод Монте-Карло.
Статистическое
моделирование представляет собой метод
получения с помощью ЭВМ статистических данных о
процессах, происходящих в моделируемой
системе. [1]
Метод статистических испытаний был придуман Д. Нейманом, С. Уланом, 1944.
Для получения представляющих интерес оценки характеристик моделируемой системы с учетом воздействий внешней среды статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.
Сущность
метода статистического моделирования сводится
к построению для процесса функционирования исследуемой системы
некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие
элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней
среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических
средств ЭВМ. [1]
Различают две области применения метода статистического моделирования:
- для изучения стохастических систем;
- для решения детерминированных задач.
Недостатки:
· недостаточная универсальность способов разложения;
· невозможность расчетов физических процессов;
· методы громоздки.
Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло – метод моделирования случайной величины с целью вычисления их характеристик и их распределения. Это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Суть решения задач методом Монте-Карло
1) физическому явлению или описанию его уравнением сопоставляется имитирующий вероятностный процесс;
2) величинами, являющимся решением задач и сопоставляются математические ожидания случайных величин вероятностного процесса;
3) на основе специального алгоритма псевдослучайных числе происходит расчет реализации случайных величин, имитирующего процесса и решение, находящееся в виде средних значений.
Общая схема метода
Монте-Карло может быть записана в виде
(1)
Результат ищется как математическое ожидание некоторой случайной величины Y, которая чаще всего является неслучайной функцией случайной величины X, имеющей распределение р(х). Нестрогое выражение “случайная величина Х имеет распределение р(х)” и запись Х~ р(х) означают для непрерывной случайной величины, что ее плотность вероятности равна р(х); для дискретной случайной величины функцию р(х) надо понимать как функцию вероятности.
Для дискретной случайной величины интеграл (1) заменяется суммой S у(х)р(х), в которой суммирование осуществляется по всем возможным значениям Х. Функция у(х) может иметь несколько аргументов, т.е. зависеть от нескольких случайных величин. В таком случае запись (1) остается в силе, только интеграл надо считать многомерным, Х рассматривать как вектор, а р(х) – как многомерную плотность (или функцию) вероятности. Приближенная оценка неизвестного математического ожидания, совпадающая с искомым результатом, находится как среднее арифметическое результатов независимых опытов. Это отражено в правой части (1). По закону больших чисел среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию.
В каждом опыте
разыгрывается реализация х случайной величины Х (в i- м
опыте реализация xi) в соответствии с распределением р(х) и вычисляется значение функции в виде у(xi).
Индекс i подчеркивает, что для каждой (i-й)
реализации процесса аргументы, составляющие вектор Х, имеют свои
случайные значения. Вычисленное очередное значение у(xi)
добавляется к накапливаемой сумме S у(xi). На этом
заканчивается очередной опыт. После того как проведено М опытов,
вычисляется итоговая оценка в виде правой части выражения (1). Опыты
повторяются до тех пор, пока дисперсия оценки не снизится до
требуемой величины, зависящей от допустимой погрешности и коэффициента доверия.
Проиллюстрируем суть метода Монте-Карло относительно простым примером. Пусть требуется оценить надежность системы (рис.1).
Рис.1. Блочная структура системы
Система выполняет
свою функцию, если работают цепочки блоков: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7. Какие-то
блоки могут отказать. Каждый блок характеризуется временем безотказной работы ti, . Пусть заданы
плотности распределения рi(t i),
. Какова
надежность системы в целом?
Рассмотрим случайную величину:
g = min { t1, max [min (t4,
t6), min [max (t2, t3),]], t7}
, (2)
где g - время безотказной работы системы. В одном опыте разыгрываются
значения всех ti, в соответствии с
рi(ti),
. Используя
полученные реализации ti,
, по (2)
вычисляем реализацию g. Один опыт дает одну
реализацию (одно выборочное значение) g . Проводим М опытов
(испытаний), получаем “статистический” материал (выборку). Берем среднее
арифметическое времени безотказной работы системы g с
р в качестве оценки надежности системы. При
необходимости можно построить закон распределения вероятностей случайной
величины g в виде соответствующей гистограммы.
Метод Монте-Карло и его суть применительно к моделированию
физических процессов
В самом общем случае методом Монте-Карло можно назвать любой способ решения некоторой задачи, в которой используются случайные числа. Существует множество самых разных модификаций этого метода применительно к разным задачам.
Суть решения физических задач методом Монте-Карло заключается в том, что физическому явлению сопоставляется имитирующий вероятностный процесс, отражающий его динамику (другими словами каждому элементарному акту процесса сопоставляется некоторая вероятность его осуществления). Затем этот процесс реализуется с помощью набора случайных чисел. Интересующие нам значения физических величин находятся усреднением по множеству реализаций моделируемого процесса.
Основным преимуществом метода Монте-Карло по сравнению с классическими численными методами состоит в том, что с его помощью можно исследовать физические явления практически любой сложности, которые иначе решить просто невозможно. Например, решить уравнения, описывающие взаимодействие двух атомов, будет сравнительно несложно, однако решить такую же задачу для сотни атомов уже не реально. Кроме того, для метода Монте-Карло часто характерна простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания (шага модели)2. Затем это испытание повторяется необходимое число раз, причем каждый последующий шаг не зависит от всех остальных.
Метод Монте-Карло можно также назвать "теоретическим экспериментом". Действительно, если точно известны законы элементарных актов, а вместе с ними и вероятности элементарных событий, результаты, получаемые этим методом, были бы подобны экспериментальным данным.
Заключение
В этой теме мы рассмотрели: стохастическое моделирование и метод Монте-Карло.
В следующей теме мы узнаем, что такое оптимизационные задачи, линейное, нелинейное, динамическое программирование и сетевой анализ.
Литература: