Темы №3

Этапы моделирования (4 часа)

 

"Правильная постановка задачи даже

более важна, чем само ее решение"

Эйнштейн

Введение

В этой теме мы рассмотрим этапы моделирования, дискретную арифметику и ее особенности, системы символьных вычислений и графическое представление результатов.
 

План:

1.      Постановка задачи: определение цели (результатов) вычислений и необходимых исходных данных. Возникновение "неустранимой" погрешности.

2.      Построение концептуальной модели.

3.      Построение / выбор математической модели. Проблема адекватности модели изучаемым объектам, явлениям, процессам.

4.      Численный анализ (алгоритмизация). Дискретизация модели. Усечение бесконечных вычислительных процессов. Итерационные вычислительные методы. Погрешность метода вычислений.

5.      Вычисления на компьютере. Программно-технологическое обеспечение решения вычислительных задач. Аппаратно-технические ресурсы для вычислений.

6.      Дискретная арифметика и ее особенности. Погрешность округления.

7.      Анализ результатов вычислений. Понятие о некорректных задачах и их регуляции.

8.      Понятие об интеллектуальных вычислительных пакетах, основанных на знаниях.

9.      Системы символьных вычислений.

10.  Графическое представление результатов. Качественный анализ объектов, явлений и процессов.

 

1. Постановка задачи: определение цели (результатов) вычислений и необходимых исходных данных. Возникновение "неустранимой" погрешности.

На этом этапе определяются цель анализа и пути достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На данном этапе требуется глубокое понимание существа поставленной задачи. Иногда, правильно поставить задачу не менее сложно, чем ее решить. Постановка – процесс не формальный, общих правил нет.

На данном этапе главное - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. [3]

Постановка проблемы и ее качественный анализ – выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных, изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы, формирование гипотез, объясняемых поведение и развитие объекта.

При формировании области исходных данных (информационного пространства системы) выявляются количественные характеристики (параметры) функционирования системы и ее элементов, численные значения которых составят исходные данные моделирования.

Очевидно, что значительная часть параметров системы -  это случайные величины. Поэтому особое значение при формировании исходных данных имеют выбор законов распределения случайных величин, аппроксимация функций и т.д.

Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.       В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

 

2. Построение концептуальной модели.

После определения цели (целей) моделирования строится концептуальная модель исследуемой системы.

 

Концептуальная модель (содержательная модель) - это абстрактная модель, определяющая состав и структуру системы, свойства элементов и причинно-следственные связи, присущие анализируемой системе и существенные для достижения целей моделирования.

 

В концептуальной модели обычно в словесной форме приводятся сведения о природе и параметрах (характеристиках) элементарных явлений исследуемой системы, о виде и степени взаимодействия между ними, о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования системы.

Следующим шагом на пути создания концептуальной модели служит выбор уровня детализации модели (стратификация). Модель системы представляется в виде совокупности частей (подсистем, элементов). В эту совокупность включаются все части, которые обеспечивают сохранение целостности системы, с одной стороны, а с другой - достижение поставленных целей моделирования.

В дальнейшем производится окончательная детализация, локализация (выделение системы из окружающей среды), структуризация (указание и общее описание связей между выделенными элементами системы), укрупненное описание динамики функционирования системы и ее возможных состояний.

 3. Построение / выбор математической модели. Проблема адекватности модели изучаемым объектам, явлениям, процессам.

Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования. [2]

Построение математической модели - этап формализации модели, которая выражается в конкретных математических зависимостях и отношений определенного типа моделей, уточнение деталей модели. С каждым циклом уточнение свойств увеличивается, это приводит к громоздкости модели, все это затрудняет исследования.

Для построения модели необходимо указать список параметров и переменных моделей, т.е. нефиксированных заранее величин, описывающих ту или иную сторону моделируемого явления. Переменные могут быть экзогенными и эндогенными. Экзогенные - это переменные, которые задаются вне модели, то есть известны заранее. Эндогенные - это переменные, которые определяются в ходе расчетов по модели. Параметры - это коэффициенты уравнений модели.

После формулировки списка переменных модели необходимо указать, какие значения переменных могут реализоваться, т.е. указать множество допустимых значений переменных. Это множество часто представляется с помощью системы ограничений на значения переменных. Эти ограничения выделяют среди всевозможных значений переменных допустимые значения. В некоторых случаях переменные могут принимать только целые неотрицательные значения. В экономико-математических исследованиях часто встречаются переменные, являющиеся функциями других переменных. [1]

  4. Численный анализ (алгоритмизация). Дискретизация модели. Усечение бесконечных вычислительных процессов. Итерационные вычислительные методы. Погрешность метода вычислений.

Цель анализа модели – выяснение общих свойств модели:

·         доказательство существования решений в сформированной модели, если нет решений, то изучать ее нет никакого смысла;

·         проверка на единственность решения, аналитическое исследование модели;

·         просмотр переменных – какие вводим, каковы их тенденции изменения. Модели сложных объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. Если невозможно аналитически изучить модель, упростить данные, то мы должны переходить к численному методу;

·         подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятности, методы теоретической и математической статистики. При системном математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования в других моделях;

·         численное решение, включает саму разработку алгоритмов для численного решения задач, составляющую прогнозы на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Схема вычислительного эксперимента: модель – алгоритм – программа;

·         анализ численных результатов и их применение. Правильность и полнота результатов моделирования, вопрос об адекватности модели и о степени ее практической применимости.

Итерационные вычислительные методы

Вычислительные методы позволяют найти решения определенных задач, заранее зная, что полученные результаты будут вычислены с определенной погрешностью, поэтому для многих численных методов необходимо заранее знать «уровень точности», которому будет соответствовать полученное решение.

В этой связи задача нахождения корней многочлена представляет особый интерес, т.к. формулы нахождения корней даже кубического уравнения достаточно сложны, а если необходимо отыскать корни многочлена, степень которого равна, например, 5 – то без помощи численных методов не обойтись, тем более, что вероятность наличия у такого многочлена натуральных (или целых, или точных корней с «короткой» дробной частью) довольно мала, а формул для нахождения корней уравнения степени, превышающей 4, не существует.

Итерационные методы применяют для решения задач большой размерности, когда использование других методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций.

Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило, являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженным и матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.

Применение итерационных методов для качественного решения большой системы уравнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта.

Итерационным методам решения посильно решение систем линейных уравнений существенно большего порядка, но они могут болезненно реагировать на плохую обусловленность решаемых систем (связанную, например, с геометрической изменяемостью конструкции (цепной, вантовой или др.)). Это, прежде всего, метод Зейделя, метод сопряженных градиентов с предобуславливанием. Предобуславливание (переход к решению эквивалентной, но положительно определенной системы уравнений) здесь является инструментом гарантии и ускорения сходимости процесса итерационного решения. Среди методов предобуславливания – симметричное предобуславливание Гаусса-Зейделя, незавершенная факторизация Холецкого, предобуславливание «элемент - за - элементом».

 

Основные методы:

1. Метод хорд и касательных (комбинированный). Данный метод основан на построении схематического графика функции, определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующим «сжатием» этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику этой функции.

Надо отметить, что существуют также отдельно метод хорд (дает значение корня с недостатком) и метод касательных (с избытком). Однако преимущество комбинированного метода заключается в «двустороннем сжатии» рассматриваемого отрезка.

2. Метод итераций. Данный метод является исключительно аналитическим, что упрощает его машинную реализацию, однако содержит следующие недостатки: необходимость выбора нулевого приближения (ведь то, что интуитивно для человека, для ЭВМ может стать довольно сложной задачей), наконец, полученная последовательность просто может не сходиться, и тогда решение найдено не будет. Эти недостатки стали основанием для отклонения метода итераций при выборе алгоритмизируемого метода.

3. Метод половинного деления (известный еще и как «метод деления отрезка пополам») также является рекурсивным, т.е. предусматривает повторение с учетом полученных результатов. Метод, хотя и достаточно медленный (впрочем, при неудачном выборе нулевого приближения в методе итераций поиск решения может затянуться на еще более долгое время, да и к тому же неизвестно, приведет ли весь ход вычислений к ответу), но зато вполне надежный и простой метод, не требующий решения дополнительных задач, вроде вычисления производной, а рекурсивность самого алгоритма позволяет получить очень компактный и легко читаемый код. Именно поэтому метод половинного деления и был выбран для реализации на программном уровне.

4. Метод разложения на множители. Данный метод является полностью аналитическим, однако полностью зависим от других. Главным его преимуществом является то, что в данном методе не происходит потери кратных корней.

 

5. Вычисления на компьютере. Программно-технологическое обеспечение решения вычислительных задач. Аппаратно-технические ресурсы для вычислений.

Вычисления на компьютере

Появление электронных вычислительных машин, быстрое развитие вычислительной математики, повсеместное использование вычислительной техники чрезвычайно расширило возможности математического моделирования.

Перейдем теперь к характеристике основных этапов использования компьютеров при математическом моделировании. Мы будем основное внимание обращать на использование вычислительных средств при нахождении приближенного решения задачи. Необходимо, однако, отметить и возможности применения компьютеров и на этапе качественного исследования математической модели, этапе отыскания аналитических решений модельных задач. Например, компьютер можно использовать для нахождения автомодельных решений. При выделении автомодельной переменной исходная задача для уравнения в частных производных сводится, например, к обыкновенному дифференциальному уравнению, происходит понижение размерности. Общее решение последнего находится на основе использования систем аналитических вычислений на компьютере (методов вычислительной алгебры), широко представленных в современных математических пакетах.

В применении компьютеров при математическом моделировании можно выделить, по крайней мере, два этапа, два уровня:

1.   Характеризуется исследованием достаточно простых математических моделей. На этом этапе (уровне) применения компьютеров вычислительные средства используются наряду и наравне с другими методами (чисто математическими) прикладной математики.

Выделенный этап применения компьютеров при математическом моделировании характеризуется условной цепочкой заказчик (теоретик) - исполнитель (прикладной математик). Заказчик ставит задачу, анализирует результаты, а исполнитель обеспечивает решение задачи с применением компьютеров. В этом случае речь идет о решении конкретной (достаточно узкой) задачи с определенным набором входных данных.

Для этого уровня применения компьютеров в прикладном математическом моделировании характерен лозунг Р.Хеминга: "Цель расчетов - понимание, а не числа". Это отражает традиции работы заказчика-теоретика, который больше всего ценит качественный анализ. Для современного этапа научных исследований и разработок одного понимания мало. Для выхода на эксперимент, реальную конструкцию требуются точные количественные зависимости и характеристики.

2.   Характеризуется исследованием сложных нелинейных математических моделей. В этих условиях вычислительные средства становятся основными, абсолютно преобладающими. Традиционные средства прикладного математического моделирования выполняют вспомогательную, обслуживающую роль (качественное исследование задачи в сильно упрощенных постановках - модельные задачи, тестирование вычислительных алгоритмов и т.д.).

Именно возможность исследования сложных математических моделей на основе численных методов и компьютеров позволяет с новых позиций рассмотреть методологию научных исследований. Мощные компьютеры, высокоэффективные вычислительные алгоритмы, современное программное обеспечение позволяют в настоящее время организовать научные исследования в рамках единой технологии вычислительного эксперимента, который включает в себя теоретические и экспериментальные исследования.

Программно-технологическое обеспечение решения

вычислительных задач

Программное обеспечение вычислительного эксперимента базируется на использовании комплексов и пакетов прикладных программ. Комплекс программ предназначен для решения близких по своей математической природе задач из одной предметной области. Он включает в себя библиотеку программных модулей, из которых комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных программ сборка программ из модулей осуществляется вручную.

В пакетах прикладных программ для сборки используются системные средства компьютера, что позволяет в значительной степени автоматизировать этот процесс. Пакеты прикладных программ, рассматриваемые как технология решения задач в рамках вычислительного эксперимента, позволяют наиболее эффективно использовать накопленный программный продукт, резко поднять производительность труда программистов.

В наибольшей степени основные особенности вычислительного эксперимента учитывается при использовании объектно-ориентированного программирования и современных языков программирования.

Затем в цикле вычислительного эксперимента проводится серия расчетов на компьютерах при изменении тех или иных параметров задачи. Полученные данные анализируются и интерпретируются с участием специалистов в прикладной области. Обработка результатов проводится с учетом имеющихся теоретических представлений и экспериментальных данных. Она осуществляется, во многом, в традициях классического натурного эксперимента. Сами опытные данные представляются в виде таблиц, графиков, фотографий с дисплея, кинофильмов и т.д.

Надо только всегда иметь в виду, что объем обрабатываемой информации, детализация полученных результатов в вычислительном эксперименте несравненно больше. В вычислительном эксперименте проблемы хранения и обработки информации имеют все возрастающее значение.

На этапе анализа результатов становиться ясным, удачно ли выбрана математическая модель, ее вычислительная реализация. Если есть необходимость, модели и численные методы уточняются и весь цикл вычислительного эксперимента повторяется, то есть совершается новый виток спирали в познании истины.

Аппаратно-технические ресурсы для вычислений

От аппаратно – технических ресурсов компьютера зависит скорость итерационных процессов и погрешность вычислений.

Центральный процессор - "мозг" компьютера. Скорость вычислений, обработки той или иной информации зависит именно от его быстродействия.

Точность вычислений метода очень сильно зависит от качества используемого генератора псевдослучайных чисел, скорость вычислений определяется функцией, описывающей анализируемый процесс и, конечно же, производительностью самого "вычислителя". В наше время тактовая частота современных процессоров уже перешла предел ГГц, а объём оперативной памяти персональных компьютеров легко довести до единиц Гбайт, производительность "вычислителя" не является больше сдерживающим фактором для применения требовательных к мощности "вычислителя" числовых алгоритмов при решении задач.

Важна скорость вычислений, что зависит от размера и типа оперативной памяти, скорости шины и типа процессора.

С ростом мощности компьютеров - как в отношении объема хранимых данных, так и в отношении скорости вычислений - соответственно возрастают абсолютный размер и сложность программного обеспечения.

За время между двумя отсчетами процессор успевает выполнить определенный участок кода программы. Зная количество тактов, выполненных процессором и тактовую частоту процессора, можно подсчитать время выполнения участка программы в тактах процессора. Однако точное вычисление невозможно из-за различных процессов, происходящих в компьютере. В связи с этим можно говорить о погрешности при вычислении количества тактов процессора и о погрешности при измерении времени. Для унификации и ту, и другую погрешности, а также время между двумя отсчетами будем измерять в условных единицах – количестве тактов процессора.

Таким образом, время между двумя отсчетами можно представить в виде min(N)+D, где min(N) – минимальное количество тактов процессора по выполнению программы между двумя отсчетами, D – случайная погрешность измерения, выраженная в тактах процессора. Для каждого компьютера и каждого конкретного участка программы величины min(N) и распределение D фиксированы и выражаются через тактовые частоты компьютера (процессора и др.).

 

При выполнении вычислительных алгоритмов часто встречаются итерационные вычисления (отдельные операции, которые циклически повторяются снова и снова). В таких случаях погрешности выхода каждого шага оказываются входными погрешностями следующей операции, а точный анализ погрешностей становится далее все более трудным (часто ограничиваются только приблизительными оценками).  

 

6. Дискретная арифметика и ее особенности. Погрешность округления.

 

Дискретная арифметика и ее особенности

 

Дискретная математика (конечная математика) - это раздел математики, занимающийся изучением свойств объектов конечного характера.

 

К их числу могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, некоторые математические модели и др.

Для начала нужно выяснить, какие величины называются дискретными и в чем их отличие от других.

Объекты и явления характеризуются значениями физических величин. Например, массой тела, его температурой, расстоянием между двумя точками, длиной пути (пройденного движущимся телом), яркостью света и т.д. Природа некоторых величин такова, что величина может принимать принципиально любые значения в каком-то диапазоне. Эти значения могут быть сколь угодно близки друг к другу, исчезающе малоразличимы, но все-таки, хотя бы в принципе, различаться, а количество значений, которое может принимать такая величина, бесконечно велико.

Такие величины называются непрерывными величинами, а информация, которую они несут в себе, непрерывной информацией.

Слово “непрерывность” отчетливо выделяет основное свойство таких величин - отсутствие разрывов, промежутков между значениями, которые может принимать величина. Масса тела - непрерывная величина, принимающая любые значения от 0 до бесконечности. То же самое можно сказать о многих других физических величинах - расстоянии между точками, площади фигур, напряжении электрического тока.

Кроме непрерывных существуют иные величины, например, количество людей в комнате, количество электронов в атоме и т.д. Такого рода величины могут принимать только целые значения, например, 0, 1, 2, ..., и не могут иметь дробных значений. Величины, принимающие не всевозможные, а лишь вполне определенные значения, называют дискретными.

 

Дискретные величины (от лат discretus - прерывистый) - в противоположность непрерывным величинам заданные только отдельными значениями.

 

В экономике используются преимущественно именно дискретные величины, показатели, значения которых фиксируются, измеряются, рассчитываются только в отдельные моменты, через определенные промежутки времени (час, день, неделя, месяц, квартал, год, несколько лет).

 

Примеры дискретных величин:

·      геометрические фигуры (треугольник, квадрат, окружность);

·      буквы алфавита;

·      цвета радуги и др.

 

В качестве простого примера, иллюстрирующего наши рассуждения, рассмотрим пружинные весы. Масса тела, измеряемая на них, - величина непрерывная по своей природе. Представление о массе (информацию о массе) содержит в себе длина отрезка, на которую перемещается указатель весов под воздействием массы измеряемого тела. Длина отрезка - тоже непрерывная величина.

Чтобы охарактеризовать массу, в весах традиционно используется шкала, отградуированная, например, в граммах. Пусть, например, шкала конкретных весов имеет диапазон от 0 до 50 граммов.

При этом масса будет характеризоваться одним из 51 значений: 0, 1, 2, ..., 50, т.е. дискретным набором значений. Таким образом, информация о непрерывной величине, массе тела, приобрела дискретную форму.

Любую непрерывную величину можно представить в дискретной форме. И механизм такого преобразования очевиден.

 

Погрешность округления

Во время   вычислений   возникают   погрешности  округления, как исходных данных, так и результатов. По мере сложности и объема вычислений данная погрешность имеет тенденцию накапливаться.

Помимо методической погрешности на общую погрешность вычислений, влияет постоянно накапливающаяся погрешность округления.

Погрешность округления - это инструментальная погрешность, связанная с ошибками процессора при работе с вещественными числами.

Существует четыре источника погрешностей результата численного метода:

1) погрешность математической модели;

2) погрешность исходных данных;

3) погрешность метода (ее также называют погрешностью обрыва);

4) погрешность округления (машинная погрешность).

Погрешность математической модели связана с физическими допущениями. Те погрешности, которые содержатся в исходной информации, определяют точность результата вычислений независимо от того, каким методом эти вычисления проводятся. Два других типа погрешностей - погрешности приближенного метода (метода аппроксимации) и погрешности округления - определяются теми численными методами, которые используются для решения задачи.

Исследование погрешности является сложной проблемой. Если мы рассматриваем отдельный вычислительный шаг вида, в котором выходная величина должна быть вычислена по определенному правилу, притом, что число исходных данных N, то истинную погрешность   можно разложить на следующие три составляющие:

1) погрешность метода является мерой отклонения вычислительной модели от точной и может появляться даже в том случае, если исходные данные точны. Иногда ее называют погрешность аппроксимации;

2) погрешность, обусловленная вводом; является оценкой распространения погрешности ввода при вычислении;

3) дополнительная погрешность (случайная погрешность): является мерой погрешностей, присоединяющихся от машинной реализации действий.

Максимально точная оценка погрешности метода является составной частью каждого вычислительного метода. Оценка погрешности не зависит от того, как этот метод реализуется. Погрешность, обусловленную входными данными, можно заметить и оценить только в том случае, если алгоритм относительно прост и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Для сложных задач простые и непосредственные методы исследования распространения погрешности применять нельзя. Следует еще раз отметить, что эта часть   погрешности   не   зависит   от реализации   вычислений. Особые операции, выполненные с двойной точностью, число разрядов арифметики, кодирование, фиксированная или плавающая запятая и т.п. имеют непосредственное влияние на распространение погрешности. Величина дополнительной погрешности   зависит  от функционирования вычислительной техники.

Главные причины больших случайных погрешностей:

- метод обрыва и округления, принятый в машине;

- потеря значащих разрядов при вычитании;

- техническое состояние машины;

- потеря разрядов при превышении допустимой разрядности  представления чисел (например, при делении на маленькие  числа).

При выполнении вычислительных алгоритмов часто встречаются итерационные вычисления (отдельные операции, которые циклически повторяются снова и снова). В таких случаях погрешности выхода каждого шага оказываются входными погрешностями следующей операции, а точный анализ погрешностей становится далее все более трудным (часто ограничиваются только приблизительными оценками).

7. Анализ результатов вычислений. Понятие о некорректных задачах и их регуляризации.

На данном этапе сопоставляется полученное и предполагаемое решение, проводится контроль погрешности моделирования. Встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.         Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения. [3]

 

Основные понятия некорректных задач

 

Теория некорректных задач – это направление математики, связанное с самыми разнообразными прикладными проблемами: интерпретацией показаний многих физических приборов, геофизических, геологических, астрономических наблюдений, оптимизацией управления и планирования, синтезом автоматических систем.

 

Развитие теории некорректных задач обусловлено появлением современной вычислительной техники.

Различные разделы теории некорректных задач могут быть отнесены к традиционным разделам математики, таким, как теория функций, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, линейная алгебра.

 

Понятие корректности (правильности) постановки задачи математической физики было сформулировано в начале нашего века известным французским математиком Адамаром. В настоящее время это понятие приводится в учебных пособиях по уравнениям математической физики или уравнениям с частными производными.

 

Задача математической физики или краевая задача для уравнения с частными производными называется поставленной корректно, если выполняются следующие условия:

1) решение задачи существует;

2) решение задачи единственно;

3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи.

 

Сформулированные условия требуют уточнения. Именно и решение, и данные задачи рассматриваются как элементы некоторых функциональных пространств, а условия корректности формулируются следующим образом:

·         решение задачи существует для всех данных, принадлежащих некоторому замкнутому пространству в линейном нормированном пространстве типа Сk,  Lp, Нpl , Wpl и принадлежит пространству такого же типа. Чаще всего подпространство есть или все пространство, или часть пространства, на которой обращается в нуль конечный набор линейных функционалов;

·         решение задачи единственно в каком-либо аналогичном пространстве;

·         бесконечно малым вариациям данных задач в пространстве данных соответствуют бесконечно малые в пространстве решений вариации решения.

 

Некорректные в классическом смысле задачи встречались при математическом описании физических явлений уже давно.

В 30 - 40-х годах геофизики обнаружили связь между задачей, эквивалентной задаче Коши для уравнения Лапласа, и некоторыми вопросами гравитационных и магнитных аномалий.

Задачи компьютерной томографии и задачи интегральной геометрии, возникающие в геотомографии, являются некорректными.

Одним из основных методов исследования краевых задач для уравнений математической физики является метод интегральных уравнений. Корректные в классическом смысле задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода или сингулярным интегральным уравнениям. Последние после некоторых преобразований обычно также сводятся к уравнениям второго рода. Некорректные же задачи часто сравнительно просто сводятся к интегральным уравнениям первого рода. Это относится, в частности, к двум отмеченным выше некорректным задачам. Интегральные уравнения, к которым сводятся задача Коши для уравнения Лапласа и задача Коши для уравнения теплопроводности с обратным временем, имеют вид:

,

.

Естественным обобщением понятия интегрального уравнения рода является понятие операторного уравнения первого рода. Операторным уравнением первого рода называется уравнение вида

Ax = f,

где x, f - элементы некоторых пространств X, F; А - вполне непрерывный (линейный) оператор, действующий из Х в F.

Как известно, оператор, обратный к вполне непрерывному, если он существует, не является непрерывным, и, таким образом, задача решения уравнения (4) некорректна. Очевидно, что задача решения (4) может быть корректной, если ее рассматривать для некоторой другой пары равенств Х1, F1. При этом если Х1= X, то для корректности решения (4) необходимо, чтобы F1 было подпространством F, а если F1 = F, то необходимо, чтобы Х1 было расширением X.

 

При обсуждении вопросов, связанных с некорректными задачами, высказывалось мнение, что в задачах типа задачи Коши для уравнения Лапласа достаточно подобрать соответствующую пару функциональных пространств, и задача для этой пары будет корректной. Действительно в задаче Коши для уравнения Лапласа, в задаче Коши для уравнения теплопроводности с обратным временем, а также во многих других задачах подобного типа подобрать пары пространств, в которых задачи станут корректными, сравнительно нетрудно.

Однако такой подход к  некорректным задачам оставляет в стороне очень важный с точки зрения приложений аспект. Дело в том, что если уравнение типа (4) рассматривается в связи с математическим моделированием реального физического явления, то правая часть уравнения часто получается на основании показаний физических приборов. Поскольку приборы, обладают погрешностями, мы не можем в таких случаях считать правую часть уравнения (4) заданной абсолютно точно. Мы можем считать лишь, что нам задан элемент fe , удовлетворяющий неравенству

,

где число e определяется точностью приборов. При этом норма пространства, в котором нам известна оценка погрешности правой части, не может задаваться произвольно, она диктуется постановкой системы измерений. Как правило, это или норма в пространстве С - нам известна оценка максимальной погрешности измерений, или норма в пространстве L2 - средняя квадратичная погрешность.

Возможна, хотя и представляет дополнительные технические трудности, постановка системы измерений, когда погрешность мала вместе со своей производной ≈ норма в пространстве С1 или W2(1). Постановка же измерений, когда погрешность мала вместе со второй производной (пространства С2, W2(2)), или не выполнима, или представляет значительные технические трудности.

Рассмотрим интегральные уравнения, приведенные выше. Очевидно, что если решения этих уравнений существуют, то правые части уравнений имеют производные всех порядков. Более того, правые части есть функции аналитические в некоторой комплексной окрестности действительной оси, что налагает ограничение на порядок роста норм производных.

Пусть F - функциональное нормированное пространство, такое, что задача решения (3) корректна для пары пространств: какого-либо обычного пространства решений, например С или L2, и пространства правых частей F. Из сказанного выше следует, что в определении нормы в F должны участвовать производные всех порядков, а это неприемлемо с точки зрения реальных систем измерений.

Рассмотрим классическую задачу математического анализа - задачу дифференцирования. Если функция задана в виде формулы, суперпозиции элементарных функций или интегралов, зависящих от параметра, то производная находится по классическим правилам дифференцирования также в виде формулы. Если же функция получена на основании экспериментальных данных, в виде таблицы или графика, задача о нахождении производных осложняется. Как было уже отмечено, наиболее часто погрешность может считаться малой в пространствах С или L2, а производную желательно получить с погрешностью, малой в этих же пространствах. В этом случае задача дифференцирования является задачей, некорректной в классическом смысле.

Принципы подхода к постановкам некорректных задач, естественные с точки зрения приложений, были впервые высказаны в работе А.Н.Тихонова в 1943 г., которая была связана с обоснованием метода подбора при интерпретации данных геофизических: измерений и привлекла внимание многих исследователей, особенно геофизиков.

Многие некорректные задачи сравнительно легко сводятся к операторным уравнениям первого рода. Рассмотрим более общее нелинейное уравнение.

 

Пусть X, F - полные метрические пространства,

А (∙) - непрерывный оператор (отображение), действующий из Х в F (определенный на всем X).

 

Уравнение Ax = f, (1),

где х Î X; f Î F, назовем операторным уравнением первого рода, если оператор А вполне непрерывен и никакой шар в пространстве Х не является компактным.

 

Сформулируем для уравнения (1) понятие классической корректности (по Адамару).

Задача решения (1) называется корректной (классически), если:

1) для любого f Î F существует решение уравнения (1) х Î X;

2) решение (1) единственно;

3) решение х непрерывно зависит от правой части f, т. е. бесконечно малым вариациям f (в метрике пространства F) соответствуют бесконечно малые вариации решения хX).

 

Для классических задач математической физики и соответствующих им операторных уравнений выполнение условий корректности устанавливается теоремами существования, единственности в непрерывной зависимости решения от данных.

Для корректности задачи решения уравнения (1) необходимо и достаточно существование непрерывного оператора В из F в X, обратного к оператору А.

Задача решения операторного уравнения первого рода не может быть корректной, так как оператор, обратный к вполне непрерывному, не является непрерывным. [4]

 

8. Системы символьных вычислений.

Системы символьных вычислений имеют богатую историю и применяются для различных целей с первых лет существования компьютерной науки как самостоятельной области. Одним из направлений в разработке систем символьных вычислений являются системы переписывающих правил (rewriting rules systems). На сегодня в мире существует более сотни систем переписывающих правил, которые поддерживаются как исследовательскими группами, так и коммерческими организациями и используются в различных областях приложений.

Существует некоторая типология систем переписывания, отражающая как эволюцию программного обеспечения, так и области применения. Традиционной сферой применения является обработка строк, в качестве примера можно привести Рефал. Здесь фундаментальной математической моделью являются алгорифмы Маркова, а вычисления - это последовательное применение правил к начальной цепочке строк. Подобное ПО встроено в почти в каждую существующую систему морфологического анализа.

C развитием программной инженерии появилась потребность автоматического анализа и преобразования программ, где объектами преобразований являются синтаксические деревья конструкций языка программирования. Спектр применения таких систем от автоматического генерирования документации до систем анализа ПО и автоматического перевода программ с одного языка программирования на другой. Автоматизация построения логических доказательств это одно из наиболее естественных применений символьных вычислений. Здесь в основе математической модели лежит логическая редукция: шаг вычислений соответствуют шагу логического вывода в некоторой системе аксиом в соответствии с определенными правилами вывода. Известными формальными моделями в этом направлении являются комбинаторная логика и π -исчисление.

На этой основе построен целый класс языков программирования и разработаны классы промышленных применений, в частности системы проектирования логических микросхем, высокоуровневые языки программирования, экспертные системы.

Особый класс составляют универсальные системы переписывающих правил, который появился в последние годы как альтернатива систем логического программирования. Характерной его особенностью является наличие правил представления либо преобразования объектов предметной области произвольной структуры в виде алгебраических термов, а также стратегий применения правил вывода, основанных на внелогических принципах, часто в виде императивного алгоритма последовательности поиска и применений правил.

TermWare - (принадлежит к последнему типу систем наряду с APS, Maude и Stratego) система символьных вычислений, предназначенная для встраивания в промышленные приложения с целью обеспечения их гибкости и настраиваемости соответственно изменяющимся требованиям и условиям функционирования. Предложен метод погружения настраиваемых программных систем в промышленные комплексы, основанный на использовании декларативных средств программирования при описании взаимодействий программных компонент со своим окружением. Метод позволяет значительно уменьшить стоимость разработки сложного программного обеспечения, а также решать задачи анализа и обеспечения надежности программного кода.

Современные системы символьных вычислений приспособлены для создания "электронных книг" с "живыми" (перевычисляемыми при изменении данных) формулами. Они поддерживаются практически на всех широко используемых платформах, включают превосходную двух- и трехмерную графику и анимацию, позволяют выполнять большое количество расчетов в интерактивном режиме, не прибегая к дополнительному программированию.

Сейчас все современные CAE-программы имеют встроенные функции символьных вычислений. Наиболее известными программами этого класса являются программы, рассмотренные в предыдущей теме:

·      MatLab;

·      MathCAD;

·      Mathematica;

·      Maple.

 

 9. Графическое представление результатов. Качественный анализ объектов, явлений и процессов.

 1) описание исследуемого объекта

Шахтный грузовой подъем (ШГП) характеризуется циклическим режимом работы с широким изменением концевой нагрузки по циклам, а также является установкой программного управления. Вид и количество периодов расчетной тахограммы определяется технологическими свойствами подъема. На рисунке 1 приведена шестипериодная диаграмма скорости ШГП.

 

Рис. 1. Шестипериодная диаграмма скорости ШГП

На тахограмме приняты следующие временные периоды:

·         t1 – период ускоренного движения;

·         t2 – период ускоренного движения;

·         t3 – период равномерного хода;

·         t4 – период замедления;

·         t5 – период равномерного хода;

·         t6 – период стопорения.

 

2) основные положения принятого метода моделирования и обработка статистических данных

Когда исследование на реальном объекте невозможно, эффективным и целесообразным методом исследования является метод моделирования.

Несмотря на развитую теорию аналитических методов, качественный и количественный анализ сложных систем аналитическими моделями иногда встречает значительные трудности. В этих случаях используют имитационное моделирование, в основе которого лежит особый численный метод (Монте-Карло), с помощью которого имитируются элементарные явления, составляющие исследуемый процесс.

Сущность метода в том, что процесс имитируется с помощью арифметических и логических операций в последовательности элементарных актов, характерных процессу.

Метод моделирования непрерывных величин - метод обратных функций, основан на соотношении функции распределения F(x) непрерывной случайной величины х, плотности распределения вероятности f(x) и равномерно распределенных (0;1) случайных чисел x и описывается следующим образом (рис. 2):

      (1)           

                                

Рис. 2. Метод обратных функций

 

Обработка одномерных случайных величин производится в следующем порядке:

·         построение вариационного ряда выборки одномерной случайной величины;

·         определение ориентировочного значения количества интервалов группирования;

·         определяются основные статистические характеристики выборки: математическое ожидание; дисперсия; стандарт.

 

Для нормального закона распределения плотность вероятности:

             (3)

Для логнормального закона распределения плотность вероятности:

        (4)                          

 

 3) моделирование исследуемого объекта

При моделировании объекта для получения приемлемой точности определяется необходимое число реализаций исследуемых параметров объекта:

   (5)                                                  

где Ua - квантиль нормального распределения, Ua=1,96:

e - необходимая точность, e=10%.

 

Т.к. время движения и время технологической паузы являются случайными величинами, то по методу обратных функций:

       (6)                                    

      (7)                                                   

 

Модель движения ШГП:

Погрешность измерений (по мат. ожиданию) составляет:

 

 

Рис. 3. Гистограмма

 

Если провести  усреднение  гистограммы, представленной на рис. 3,  то можно  выделить  шесть  отрезков, соответствующих теоретической шестипериодной диаграмме скорости. Таким образом, результаты моделирования адекватны реальному объекту.

 

Заключение

В этой теме мы рассмотрели: этапы моделирования, дискретную арифметику и ее особенности, системы символьных вычислений и графическое представление результатов.

В следующей теме мы рассмотрим моделирование эпидемий, методы анализа аналитической модели, итерационные методы,  точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

 Вопросы для самоконтроля:

1.      Перечислите основные этапы моделирования.

2.      Дайте определение понятию "концептуальная модель".

3.      Какие итерационные вычислительные методы Вы знаете?

4.      Что такое дискретная математика и каковы ее особенности?

5.      Приведите примеры дискретных величин.

6.      Что такое погрешность округления?

7.      Какие источники погрешностей результата численного метода Вы знаете?

8.      Дайте определение понятию "теория некорректных задач".

9.      Сформулируйте условия корректности задач.

Литература:

1.      Еноткин А.А. Прогнозирование оптимальной численности кадрового состава и потребности в учителях общеобразовательных учреждений // http://bspu.ab.ru/Student/HTML1/glav.htm.

2.      Этапы экономико-математического моделирования // http://cde.osu.ru/demos/course61/lek1_3.html.

3.      Моделирование как метод научного познания // www.kajnov.temator.ru.

4.      Перчик Е.Л. Методология синтеза знаний: преодоление фактора некорректности задач математического моделирования // www.pelbook.narod.ru/read.htm.