Тема № 1

Введение в математическое моделирование

 

"Во всяком знании столько науки,

сколько в ней математики."

Введение

В этой теме мы поговорим об актуальности моделирования, рассмотрим понятия "модель", "моделирование", математическое моделирование, особое внимание уделим математическому моделированию, как один из видов моделирования объектов, процессов, явлений.

 

Список литературы по дисциплине:

1. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. - Москва: МГУ,1998.- 152с.

2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. – М.: Финансы и статистика, 2002 г., - 256с.

3. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в математике, физике и Internet. - М.: “Нолидж”, 2000. - 512 с.: ил.

4. Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 Pro. - М.: ДМК Пресс, 2001. - 576 с.: ил.

5. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: КомпьютерПресс, 1998. - 384 с.: ил.

6. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высш. шк., 2000. - 716 с.: ил.

7. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. -  Москва: «Наука». 1997 - 320 с.

8. Ханова А.А. Символьные вычисления в среде MathCAD. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2001. - 34 с.

9. Ханова А.А. Численное решение уравнений и систем. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2001. - 44 с.

10.  Ханова А.А., Макарова И.Г. Лабораторный практикум по математическому моделированию и методам в расчетах на ЭВМ. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 1998. - 93 с.

План:

1. Актуальность математического моделирования.

2. Моделирование и эксперимент. Модель. Математическое моделирование как один из видов моделирования объектов, процессов, явлений. Классификация математического моделирования.

3. Математическое моделирование, численный эксперимент, анализ результатов.

 

1. Актуальность моделирования.

Моделирование в том или ином виде присутствует почти во всех видах творческой деятельности.

Решение проблем жизнеобеспечения на современном этапе основывается на широком использовании математического моделирования и вычислительного эксперимента. Вычислительные средства (компьютеры и численные методы) традиционно хорошо представлены в естественнонаучных исследованиях, прежде всего в физике и механике. Идет активный процесс математизации химии и биологии, наук о земле, гуманитарных наук и т.д.

Наиболее впечатляющие успехи достигнуты при применении математического моделирования в инженерии и технологии. Компьютерные исследования математических моделей в значительной степени заменили испытания моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах, взрывы ядерных и термоядерных устройств на полигонах.

Современные информационные технологии используются в медицине. Сбор и анализ диагностических данных позволяет провести своевременную диагностику заболеваний. Например, компьютерный томограф является примером того, как использование математических методов обработки больших массивов данных позволило получить качественно новый медицинский инструментарий.

В качестве примеров отметим использование компьютеров при запуске и управлении полетом космических кораблей, при обработке данных сейсмической разведки полезных ископаемых, полное численное моделирование аэродинамики реальной конфигурации самолета и т.д [1].

 

2. Моделирование и эксперимент. Модель. Математическое моделирование как один из видов моделирования объектов, процессов, явлений. Классификация математического моделирования.

Моделирование и эксперимент

 

Моделирование – это материальное или мысленное имитирование реально существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы [4].

 

Основная цель моделирования - исследовать объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им. [3]

 

Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные свойства [4].

Пытаясь использовать моделирование для решения той или иной задачи всегда необходимо помнить об альтернативе. Моделирование часто сравнивается с альтернативным методом изучения действительности: методом научных экспериментов. В сравнении с методом научного эксперимента достоинствами метода моделирования являются:

·   универсальность;

·   меньшая стоимость;

·   меньшая продолжительность во времени.

Недостатками являются:

·   трудности построения адекватной модели и оценки ее точности;

·   сбор большого количества достоверной информации (в реальной системе они уже есть);

·   нецелостность модели (любой объект - это не просто сумма элементов, а система).

Модель

Модель нужна:

1)      для того чтобы понять, как устроен объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействий с окружающим миром;

2)      чтобы научиться управлять объектом или процессом;

3)      чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

Классификация моделей

1.   По степени полноты модели:

·     полная модель, в основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется во времени и в пространстве;

·     неполная модель, для неполного моделирования характерно не полное подобие модели изучаемому объекту;

·     приближенная, в основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.

2.  В зависимости от характера изучаемых процессов:

·     детерминированные, детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т.е. в которых предполагается отсутствие всяких случайных процессов;

·     стохастические, стохастическое моделирование не отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализованных случайных процессов и оцениваются средние характеристики этого воздействия;

·     статические, статическое моделирование служит для описания поведения объекта или системы в какой-либо момент времени;

·     динамические, динамическое моделирование отражает поведение объектов во времени;

·   дискретные, дискретное моделирование служит для описания процессов, которые являются дискретными;

·     непрерывные, непрерывное моделирование отражает непрерывные процессы;

·  дискретно-непрерывные, дискретно-непрерывное моделирование используется в том случае, когда необходимо выделить как дискретные, так и непрерывные процессы.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Математическое моделирование как один из видов моделирования объектов, процессов, явлений

Виды моделирования:

·        физическое (вид моделирования, который состоит в замене изучения некоторого объекта или явления экспериментальным исследованием его модели, имеющей ту же физическую природу; связано с изменением параметров объектов, например, манекены, географические карты);

·        математическое (использование математических выкладок для описания реальных процессов, например, экономические процессы);

·        ситуационное;

·        электрическое.

Физическое моделирование: масштабирование объекта при условии изменения всего комплекса изучаемых свойств (манекен, глобус и т.д.).

Электрическое моделирование: интерпретация параметров и свойств объекта в терминах напряжений и токов, создание соответствующих схем из емкостей, индуктивностей, сопротивлений и других элементов.

Математическое моделирование: комплекс математических формул, уравнений, неравенств и других отношений, описывающих зависимости между параметрами объекта (система линейных неравенств - модель производства).

Ситуационное моделирование: создание ситуации, в которой должен функционировать объект и включение человека или группы людей для выбора варианта его поведения в неопределенных ситуациях (деловая игра, тренажер).

Остановимся подробнее на математическом моделировании.

Актуальность математического моделирования

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований - математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки больших технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Широкое применение математических методов позволяет поднять общий уровень теоретических исследований, дает возможность проводить их в более тесной связи с экспериментальными исследованиями.

Математическое моделирование может рассматриваться как новый метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен. Вычислительный эксперимент позволяет провести исследование быстрее и дешевле.

Математическое моделирование является в настоящее время одной из важнейших составляющих научно-технического прогресса. Без применения этой методологии в развитых странах не реализуется ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект.

Рождение и становление методологии математического моделирования пришлось на конец 40-х - начало 50-х годов XX века и было обусловлено двумя причинами:

1.    Появление компьютеров, которые избавили исследователей от огромной по объему рутинной вычислительной работы.

2.      Беспрецедентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита. Эти сложнейшие научно-технические проблемы не могли быть реализованы традиционными методами без широкого использования вычислительных средств. Ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были промоделированы сначала на компьютерах и лишь затем претворены на практике [2].

3. Математическое моделирование, численный эксперимент, анализ результатов.

Математическое моделирование

 

Математическое моделирование – процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта и исследования этой модели, позволяющей получить характеристики рассматриваемого реального объекта.

Вид математической модели зависит как от природы самого объекта, задачи исследования объекта, так и требуемой достоверности, и точности решения задач.

Математическое моделирование делится на:

·        аналитическое;

·        имитационное;

·        комбинированное.

 

Аналитическое моделирование - это математический прием исследования логических систем, позволяющий получить точные решения.

При аналитическом моделировании модель системы или ее элементов имеет вид аналитической зависимости между входными, выходными параметрами.

При  аналитическом   моделировании  математическая модель реализуется в виде такой системы уравнений относительно искомых величин, которая допускает получение нужного результата аналитически (в явном виде) или численным методом.

 Функциональные зависимости описываются в виде математических и логических функций, а сами модели могут иметь вид алгебраических, дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений и т.п. Данный метод   моделирования   используется в тех случаях, когда объект уже хорошо изучен и существует возможность описания его поведения на основе формального математического аппарата с приемлемым уровнем адекватности. 

Аналитическое  решение, если оно возможно, дает более полную и наглядную картину, позволяющую получать зависимость результатов моделирования от совокупности исходных данных.

Аналитическое   моделирование  обладает определенными недостатками, которые становятся особенно существенными на заключительных этапах создания системы, когда уже приняты стратегические решения, и речь идет об оценке характеристик некоторого сравнительно небольшого числа вариантов окончательного построения системы, причем на этих этапах при  моделировании  требуется учитывать достаточно детальное описание системы.

Аналитическое моделирование осуществляется в следующей последовательности:

Первый этап. Формулируются математические законы, связывающие объекты системы. Эти законы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных).

Второй этап. Решение уравнений, получение теоретических результатов.

Третий этап. Сопоставление полученных теоретических результатов с практикой (проверка на адекватность).

Достоинствами аналитического моделирования являются:

·                      большая сила обобщения;

·                      многократность использования.

Чтобы использовать аналитический метод необходимо существенно упростить первоначальную модель, чтобы иметь возможность изучить общие свойства системы.

Для аналитического моделирования характерно то, что в основном моделируется только функциональный аспект системы и процессы функционирования элементов системы записывается в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.д.) или логических условий [2].

Методы исследования аналитического моделирования:

1) аналитический, используется тогда, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;

2) приближенный, используется тогда, когда решения представляется пределом некоторой последовательности аналитических функций, полученной по определенным правилам;

3) численный, используется когда не умея решать уравнения в общем виде стремятся получить численные результаты при конкретных начальных данных;

4) качественный, используется когда, не имея решения в явном виде можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Более сложные задачи можно решать методом имитационного моделирования при наличии следующих условий:

·     не существует законченной математической постановки данной задачи;

·     не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели;

· аналитические модели имеются, но процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать случайные воздействия и другие факторы, которые создают трудности при аналитическом исследовании. Данная модель позволяет проводить эксперименты, меняя при этом условия протекания процесса, и, в конечном счете, определить такие условия, при которых результат удовлетворяет требованиям. Данный метод позволяет понять поведение процесса или объекта и выбрать стратегию, обеспечивающую наиболее эффективное ее функционирование. Имитационное моделирование осуществляется при помощи компьютеров и воспроизводит процесс функционирования системы во времени, имитируя явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры. Данные модели осуществляют прогон программы с заданными параметрами.

Под имитацией понимают проведение на компьютерах различных серий экспериментов с моделями, которые представлены в качестве некоторого набора (комплекса) компьютерных программ.

Имитационное моделирование – процесс конструирования на ЭВМ модели сложной реальной системы, функционирующей во времени и постановки эксперимента на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы.

Цель проведения подобных экспериментов:

·        выявление свойств и закономерностей исследуемой системы;

·        решение конкретных практических задач.

Комбинированное (аналитико-имитационное)  моделирование  позволяет объединить достоинства  аналитического  и имитационного  моделирования.

При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. [3]

Такой подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только  аналитического  или имитационного  моделирования  в отдельности.

 Численный эксперимент, анализ результатов

Теоретические и экспериментальные исследования обладают большой степенью автономности. В условиях, когда фундаментальные модели известны, апробированы, может быть поставлена проблема более тесного координирования и связи теоретических и экспериментальных исследований. Речь идет о новой объединяющей технологии научных исследований, которой является математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

Вычислительный эксперимент – это технология исследования, основанная на построении и анализе посредством ЭВМ математических моделей изучаемых явлений и объектов. [2]

Типичные математические модели физических процессов представляют собой системы дифференциальных  и алгебраических уравнений, как правило, нелинейных. Получить их решения в аналитическом виде удается крайне. Для получения количественных характеристик процессов возникает необходимость привлечения ЭВМ и, как следствие, - построения дискретной модели процесса. Способ формирования последней определяется выбранным численным методом.

Дискретная модель – это система алгебраических уравнений, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения и алгоритм решения этих уравнений.

Переход к дискретной модели связан с заменой непрерывных независимых переменных их дискретными аналогами; соответственно, описание исследуемых явлений и процессов может быть получено лишь в форме сеточных функций. Решение уравнений дискретной модели требует разработки соответствующей программы и ее тестирования на близких задачах, решение которых известно.

Завершающим этапом вычислительного эксперимента является проведение необходимых расчетов, анализ результатов с точки зрения соответствия их исследуемому процессу и, при необходимости, коррекция модели.

Таким образом, вычислительный эксперимент содержит три основных элемента: модель - дискретная модель - программа.

Классификация математических моделей

1.     По характеру решаемых проблем:

·        функциональные (все величины, характеризующие явления или объект, выражаются количественно. Одни из них рассматриваются как независимые переменные, другие – как функции от их величин. Все это вытекает в математическую модель, представляет собой систему уравнений разного типа, устанавливающее количественные зависимости между рассматриваемыми величинами);

·        структурные (данные модели характеризуют структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Данные связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами)).

2.       По характеру исходных данных и результатов предсказания моделей:

·        детерминистические (дают определенные и однозначные предсказания);

·  вероятно – статистические (модели основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер).

 

Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально (рис. 1).

Рис. 1

Тогда, как это известно, из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t — время, g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения.

Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим ответ: y = x – 90x2, S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

 

 2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности. 

Требуется найти высоту h0 и радиус r0 жестяного бака объема V = 30 м3, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = pr2h, S = 2pr(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r0, при которых производная

обращается в нуль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r0. Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h0 = 2r0. Подставляя в выражение для r0 и h0 заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

 

3) Транспортная задача. 

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго — 70 т на заводы, причем на первый — 40 т, а на второй — 80 т.

Обозначим через aij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a11 = 1,2 р., a12 = 1,6 р., a21 = 0,8 р., a22 = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x1 и x2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x3 и x4 — со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x1 + x2 = 50, x3 + x4 = 70, x1 + x3 = 40, x2 + x4 = 80.        (1)

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x1, x2, x3 и x4, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x1 = x4 – 30, x2 = 80 – x4, x3 = 70 – x4,         (2)

а x4 не может быть определено однозначно. Так как xi ³0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30£x4£70. Подставляя выражение для x1, x2, x3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x4.

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x4, то есть при x4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x1 = 40, x2 = 10, x3 = 0.

 

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) — исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) — количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N'(t) пропорциональна N(t), то есть N'(t)=–lN(t), l>0 — константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)elt. Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле

Тогда   

Например, для радона l = 2,084·10–6, и, следовательно, T = 3,15 сут.

 

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A1, надо посетить города A2, A3 и A4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A1. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог bij между городами Ai и Aj (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b12 = 30, b14 = 20, b23 = 50, b24 = 40, b13 = 70, b34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2).

no14_15
 


 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

Получился граф — математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки — числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V1, V2, ..., Vk, V1 такая, что вершины V1, ..., Vk — различны, а любая пара вершин Vi, Vi+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V1, Vk соединены ребром.

Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A1:

1)      A1, A4, A3, A2, A1;

2)      A1, A3, A2, A4, A1;

3)      A1, A3, A4, A2, A1.

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L1 = 160, L2 = 180, L3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины — это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно  Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

 

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3.

no14_16 


 

 

 

 

 

Рис. 3.

Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

yэ(3) = – 42°, yэ(4) = 0°, yэ(5) = 28°, yэ(6)=69°.

 Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » an + b,

где a, b — константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a, b » – 4a, b » 28 – 5a, b » 69 – 6a.

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a. Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a, получим для a следующие значения: a»37, a»28, a»28, a»36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть, положим, a»34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

yр(3) = – 37°, yр(4) = – 3°, yр(5) = 31°, yр(6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: yр(7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения yэ(7) = 98°.

 

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей — математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A1, ..., Ak образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A1, ..., Ak образуют полную группу несовместимых событий, то P(A1)+...+P(Ak)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события Ai ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(Ai) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A)•P(B),

P(A + B) = P(A) + P(B).

 

8) Рассмотрим теперь следующую задачу. Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть Ai — событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A1A2A3 — событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A1A2A3) = P(A1)•P(A2)•P(A3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A1A2A3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках [3].

 Заключение

В этой теме мы поговорили об актуальности математического моделирования, рассмотрели понятия "модель", "моделирование", математическое моделирование, особое внимание уделим математическому моделированию, как один из видов моделирования объектов, процессов, явлений.

В следующей теме мы рассмотрим такие математические пакеты как Maple, Mathcad, Mathematica, MATLAB, их основные характеристики, назначение, возможности и отличительные характеристики каждого пакета.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение понятий "модель", "моделирование".

2. Опишите достоинства и недостатки метода моделирования.

3. Для чего нужна модель?

4. Приведите классификацию моделей.

5. Какие виды моделирования Вы знаете?

6. Дайте определение понятия "математическое моделирование".

7. Какие виды математического моделирования Вы знаете?


Литература:

1. Красов А.В. Теория информационных процессов и систем // www.loge.narod.ru/tipis/lectures/l6_extra.pdf.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент  //  www.imamod.ru/~vab/matmod/MatMod.htm.

3. Скворцова М. Математическое моделирование // www.archive.1september.ru/mat/2003/14/no14_1.htm.

4. Стариченко Б.Е. Теоретические основы информатики. Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – 2-е изд., перераб. и доп. / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург, 2003. – 336 с.

Тестовые вопросы